山东省平邑县高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的三角函数小结导学案新人教A版4 精

3.1 两角和与差的三角函数 【学习目标】 1. 熟练掌握 和应用两角和的三角函数公式; 2. 初步学会进行有关三角函数的化简、求值和证明。 【新知自学】 小结 知识梳理: 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α ±β )=sin_α cos_β ±cos_α sin_β ; cos(α ?β )=cos_α cos_β ±sin_α sin_β ; tan α ±tan β tan(α ±β )= . 1?tan α tan β 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α =2sin_α cos_α ; cos 2α =cos α -sin α =2cos α -1=1-2sin α ; 2tan α tan 2α = . 2 1-tan α 3.有关公式的逆用、变形等 (1)tan α ±tan β =tan(α ±β )(1?tan_α tan_β ); 1+cos 2α 1-cos 2α 2 2 (2)cos α = ,sin α = ; 2 2 (3)1+sin 2α =(sin α +cos α ) 1-sin 2α =(sin α -cos α ) , π? ? sin α ±cos α = 2sin?α ± ?. 4? ? 2, 2 2 2 2 2 感悟: 1.拆角、拼角技巧:2α =(α +β )+(α -β ); α +β α -β α =(α +β )-β ;β = - ; 2 2 β ? ?α α -β ? ? =?α + ?-? +β ?. 2? ?2 2 ? ? 2.三个变换 (1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其手法通常是“配凑”. (2)变名: 通过变换函数名称达到减少函数种类的目的, 其手法通常有“切化弦”、 “升 幂与降幂 ”等. (3)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其 手法通常有:“常值代换”、“逆用 变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配 方与平方”等. 对点练习: 1 π? ? 1.已知 tan?α + ?=3,则 tan α 的值为( 4? ? 1 A. 2 1 B.- 2 1 C. 4 1 D.- 4 ). 2. sin 47°-sin 17°cos 30° =( cos 17° 3 2 1 B.- 2 1 C. 2 D. ). 3 2 A.- 1 1 ? π? 3.已知 cos α = ,cos(α +β )=- ,且 α ,β ∈?0, ?,则 cos(α -β )的值等 2? 3 3 ? 于( ). 1 A.- 2 1 B. 2 1 C.- 3 23 D. 27 π? ? 1+ 2cos?2α - ? 4? 3 ? 4.已知 cos α = ,α 是第一象限角,则 =( 5 π? ? sin?α + ? 2? ? 2 A. 5 7 B. 5 14 C. 5 2 D.- 5 ). 5.tan 20°+tan 40°+ 3tan 20° tan 40°=________. 【合作探究】 典例精析: 考向一 三角函数式的化简 +sin θ +cos θ 例 1.(1)化简 ?sin θ -cos θ ? ? 2 2? ? ? 2+2cos θ (0<θ <π ); 2 (2)化简[2sin 50°+sin 10°(1+ 3tan 10°)]· 2sin 80°. 2 规律总结: (1)把角 θ 变为 入手,合理使用公式. (2)切化弦,通分,利用公式把非特殊角化为特殊角. θ 2 变式练习 1:化简下列各式: (1) 1 1 - 2 2 2 1 1 ? ?3π ?? + cos 2α ?α ∈? ,2π ??=________. 2 2 ? ? 2 ?? 2 cos α -sin α (2) π ? ? 2?π 2tan? -α ?cos ? -α ?4 ? ?4 考向二 三角函数的求值 ? ? ? =________. β ? π 1 ? ?α ? 2 例 2.(1)已知 0<β < <α <π ,且 cos?α - ?=- ,sin? -β ?= ,求 cos(α + 2? 2 9 ? ?2 ? 3 1 1 β )的值;(2)已知 α ,β ∈(0,π ),且 tan(α -β )= ,tan β =- ,求 2α -β 的值. 2 7 规律总结: (1)拆分角: β ? ?α α +β ? ? =?α - ?-? -β ?,利用平方关系分别求各角的正 2? ?2 2 ? ? 弦、余弦.(2)2α -β =α +(α -β );α =(α -β )+β . 变式练习 2:已知 cos α = ,cos(α -β )= ,且 0<β <α < , (1)求 tan 2α 的值; (2)求 β . 1 7 13 14 π 2 考向三 三角变换的简单应用 3 1 ? ? ? π? ? π? 2 例 3.已知 f(x)=?1+ sin x-2sin?x+ ?·sin?x- ?. ? 4? 4? ? tan x? ? ? (1)若 tan α =2,求 f(α )的值; (2)若 x∈? ?π ,π ?,求 f(x)的取值范围. ? ?12 2 ? 规律总结: (1)化简 f(x),由 tan α =2 代入求 f(α );(2)化成 f(x)=Asin(ω x+φ ) +b 的形式,求 f(x)的取值范围. 变式练习 3: 【训练 3】 (2013·石家庄质检)设函数 f(x)=sin? (1)求 y=f(x)的最小正周期及单调递增区间; ?π x-π ?-2cos2π x. 6? 6 ? 3 ? (2)若函数 y=g(x)与 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对 称,求当 x∈[0,1]时,函数 y= g(x)的最大值. 【课堂小结】 4 【当堂达标】 sin 20°cos 20° 1、

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