2017-2018学年人教A版必修一 1.3函数的基本性质1.3.2奇偶性 学案

1.3.2 奇 偶 性 [提出问题] 1 2 已知函数(1)f(x)=x -1,(2)f(x)=- ,(3)f(x)=2x 的图象分别如图所示: x 问题 1:各个图象有怎样的对称性? 提示:题图(1)关于 y 轴对称;题图(2)(3)关于坐标原点对称. 问题 2:对于以上三个函数,分别计算 f(-x),观察对定义域内的每一个 x,f(-x)与 f(x)有怎样的关系? 提示:(1)f(-x)=f(x);(2)f(-x)=-f(x);(3)f(-x)=-f(x). [导入新知] 偶函数 一般地, 如果对于函数 f(x)的定义域 定义 内任意一个 x,都有 f(-x)=f(x), 那么函数 f(x)就叫做偶函数 定义域 奇函数 一般地, 如果对于函数 f(x)的定义域 内任意一个 x, 都有 f(-x)=-f(x), 那么函数 f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 图象 特征 [化解疑难] 理解函数的奇偶性应关注四点 (1)函数的单调性是函数的“局部”性质,而奇偶性是函数的“整体”性质,只有对其 定义域内的每一个 x, 都有 f(-x)=-f(x)[或 f(-x)=f(x)], 才能说 f(x)是奇(偶)函数. (2)函数 y=f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件:定义域关于原点对称.换 言之,若所给函数的定义域不关于原点对称,则这个函数一定不具有奇偶性.例如,函数 y =x 在区间(-∞,+∞)上是偶函数,但在区间[-1,2]上却无奇偶性可言. (3)若奇函数在原点处有定义,则必有 f(0)=0. 2 1 (4)若 f(-x)=-f(x),且 f(-x)=f(x),则 f(x)既是奇函数又是偶函数,既奇又偶 的函数有且只有一类,即 f(x)=0,x∈D,D 是关于原点对称的实数集. 判断函数的奇偶性 [例 1] 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x+1; (2)f(x)=x +3x,x∈[-4,4); (3)f(x)=|x-2|-|x+2|; 1 ? ?2x +1,x>0, (4)f(x)=? 1 ? ?-2x -1,x<0. 2 2 3 [解] (1)函数 f(x)=x+1 的定义域为实数集 R,关于原点对称. 因为 f( - x) =- x + 1 =- (x - 1) ,- f(x) =- (x + 1) ,即 f( - x)≠- f(x) , f( - x)≠f(x), 所以函数 f(x)=x+1 既不是奇函数又不是偶函数. (2)因为函数的定义域不关于原点对称,即存在-4∈[-4,4),而 4?[-4,4),所以函 数 f(x)=x +3x,x∈[-4,4)既不是奇函数又不是偶函数. (3)函数 f(x)=|x-2|-|x+2|的定义域为实数集 R,关于原点对称. 因为 f( - x) = | - x - 2| - | - x + 2| = |x + 2| - |x - 2| =- (|x - 2| - |x + 2|) =- 3 f(x), 所以函数 f(x)=|x-2|-|x+2|是奇函数. (4)函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称. 当 x>0 时,-x<0, ? 2 ? f(-x)=- (-x)2-1=-? x +1?=-f(x); 1 2 1 ?2 ? 1 1 2 ? 1 2 ? 2 当 x<0 时,-x>0,f(-x)= (-x) +1= x +1=-?- x -1?=-f(x). 2 2 ? 2 ? 1 ? ?2x +1,x>0, 综上可知,函数 f(x)=? 1 ?-2x -1,x<0 ? 2 2 是奇函数. [类题通法] 2 判断函数奇偶性的方法 (1)定义法: 根据函数奇偶性的定义进行判断.步骤如下: ①判断函数 f(x)的定义域是否关于原点对称. 若不对称, 则函数 f(x)为非奇非偶函数, 若对称,则进行下一步. ②验证.f(-x)=-f(x)或 f(-x)=f(x). ③下结论.若 f(-x)=-f(x),则 f(x)为奇函数; 若 f(-x)=f(x),则 f(x)为偶函数; 若 f(-x)≠-f(x),且 f(-x)≠f(x),则 f(x)为非奇非偶函数. (2)图象法: f(x)是奇(偶)函数的等价条件是 f(x)的图象关于原点(y 轴)对称. (3)性质法: ①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数; ②奇函数的和、差仍为奇函数; ③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数; ④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数. [活学活用] 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=|x-2|+|x+2|; x +x+4 ? ? x ,x>0, (2)f(x)=? x -x+4 - ,x<0. ? ? x 2 2 解:(1)函数 f(x)=|x-2|+|x+2|的定义域为 R. 因为对于任意的 x∈R,都有 f(-x)=|-x-2|+|-x+2|=|x+2|+|x-2|=f(x), 所以函数 f(x)=|x-2|+|x+2|是偶函数. (2)函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.当 x>0 时,-x<0,则 f(- ?-x? -?-x?+4 x +x+4 x)=- = =f(x); -x x ?-x? +?-x?+4 x -x+4 当 x<0 时,-x>0,则 f(-x)= =- =f(x). -x x 2 2 2 2 x +x+4 ? ? x ,x>0, 综上可知,函数 f(x)=? x -x+4 - ,x<0 ? ? x 2 2 是偶函数. 3 利用函数奇偶性的定义求参数 [例 2] (1)若函数 f(x)= 为奇函数,则 a=( ?2x+1??x-a? A. C. 1 2 3 4 2 x ) B. 2 3 D.1 (2)若函数 f(x)=ax +bx+3a+b 是偶函数,定义域为[a-1,2a],则 a=________,b

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