2019年浙江高三数学二轮复习_专题五 直线与圆_圆锥曲线第4讲 直线与圆锥曲线的位置关系(一)_图文

第4讲 直线与圆锥曲线的位置关系(一)

核心整合
1.直线与圆锥曲线的位置关系 (1)直线与椭圆的位置关系的判定方法: 将直线方程与椭圆方程联立,消去一个未知数,得到一个一元二次方程.若 Δ >0,则直线与椭圆相交;若Δ =0,则直线与椭圆相切;若Δ <0,则直线与椭圆 相离. (2)直线与双曲线的位置关系的判定方法: 将直线方程与双曲线方程联立,消去y(或x),得到一个一元方程 Ax2+Bx+C=0(或Ay2+By+C=0). 若A≠0,当Δ >0时,直线与双曲线相交;当Δ =0时,直线与双曲线相切;当Δ <0 时,直线与双曲线相离.

(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法: 将直线方程与抛物线方程联立,消去y(或x),得到一个一元方程Ax2+Bx+C=0(或 Ay2+By+C=0). ①当A≠0时,用Δ 判定,方法同上. ②当A=0时,直线与抛物线的对称轴平行,只有一个交点. 2.有关弦长问题 有关弦长问题,应注意运用弦长公式及根与系数的关系,“设而不求”;有关焦 点弦长问题,要重视圆锥曲线定义的运用,以简化运算.
(1)斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),则所得弦长|P1P2|

=

1 ? k 2 |x2-x1|或|P1P2|=

1?

1 k2

|y2-y1|,其中求|x2-x1 |与|y2-y1|时通常使用根

与系数的关系,即作 如下变形:

|x2-x1|= ? x1 ? ?x2 2 ? 4x1x2 ,
|y2-y1|= ? y1 ? ?y2 2 ? 4y1y2 .
(2)当斜率不存在时,可求出交点坐标,直接运算(利用两点间距离公式). 3.弦的中点问题 有关弦的中点问题,应灵活运用“点差法”,“设而不求法”来简化运算. 【温馨提示】 涉及直线与抛物线x2=±2py(p>0)相切问题,可以借助导数求解.

【归纳拓展】

(1)若

P0(x0, y0)在椭圆

x2 a2

+

y2 b2

=1

上,则在点

P0(x0,y 0)处椭圆的切线方程为

x0 x a2

+

y0 y b2

=1.

(2)若

P0(x0, y0)在椭圆

x2 a2

+

y2 b2

=1

外,则过点

P0 作椭圆的两条切线,切点为

P1 ,P2,则切点



P1P2

所在的直线方程为

x0 x a2

+

y0 y b2

=1.

核心突破

考点一 直线与圆锥曲线的位置关系

【例 1】在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C1:

x2 a2

+ y2 b2

=1( a>b>0)的左焦点为

F1(-1,0),且点 P(0,1)在 C1 上. (1)求椭圆 C1 的方程; 解:(1)因为椭圆 C1 的左焦点为 F1(-1,0),点 P(0,1)在 C1 上,所以 c=1,b=1, 所以 a2=b2+c2=2.

所以椭圆 C1 的方程为 x2 +y2=1. 2

(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y2=4x相切,求直线l的方程.

解:(2)由题意可知,直线 l 的斜率存在且不等于 0,设直线 l 的方程为 y=kx+m,



? x2 ? ?2

?

y2

? 1,

?? y ? kx ? m,

消去 y 并整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.

因为直线 l 与椭圆 C1 相切, 所以Δ1=16k2m2 -4(1+2k2)(2m2-2)=0. 整理得 2k2-m2+1=0.①



?? y2 ?

?

4x,

?? y ? kx ? m,

消去 y 并整理得 k2x2+(2km-4)x+m2=0.

因为直线 l 与抛物线 C2 相切,所以Δ2=(2km-4)2-4k2m2=0, 整理得 km=1.②

?

综合①②,解得

?k ?

?

2 2

,



? ?k ?

?

?

2, 2

??m ? 2 ??m ? ? 2.

所以直线 l 的方程为 y= 2 x+ 2 或 y=- 2 x- 2 .

2

2

方法技巧 涉及直线与圆锥曲线位置问题,一般将直线方程与圆锥曲线方程联立,转化为 判断方程组解的个数问题.

【题组训练】 1.直线 y=kx-k+1 与椭圆 x2 + y 2 =1 的位置关系为(
94 (A)相交 (B)相切 (C)相离 (D)不确定

A)

解析:直线y=kx-k+1=k(x-1)+1恒过定点(1,1),又点(1,1)在椭圆内部,故 直线与椭圆相交.故选A.

2.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l:y=t(t≠0)交 y 轴于点 M,交抛物线 C:y2=2px (p>0)于点 P,点 M 关于点 P 的对称点为点 N,连接 ON 并延长交 C 于点 H.

(1)求 OH ; ON

解:(1)由已知得 M(0,t),P( t2 ,t),又 N 为 M 关于点 P 的对称点, 2p

故 N( t 2 ,t),ON 所在直线的方程为 y= p x,代入 y2=2px 整理得 px2-2t2x=0,

p

t

解得 x1=0,x2= 2t2 ,因此 H( 2t2 ,2t).所以 N 为 OH 的中点,即 OH =2.

p

p

ON

(2)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.

解:(2)直线 MH 与 C 除 H 以外没有其他公共点,理由如下:

直线 MH 的方程为 y-t= p x,即 x= 2t (y-t).

2t

p

代入 y2=2px 得 y2-4ty+4t2=0,解得 y1=y2=2t,即直线 MH 与 C 只有一个公

共点,所以除 H 以外直线 MH 与 C 没有其他公共点.

考点二 弦长、面积问题 【例 2】 已知 A 是椭圆 E: x2 + y 2 =1 的左顶点,斜率为 k(k>0)的直线交 E 于
43 A,M 两点,点 N 在 E 上,MA⊥NA. (1)当|AM|=|AN|时,求△AMN 的面积; (1)解:设 M(x1,y1),则由题意知 y1>0,由|AM|=|AN|及椭圆的对称性知,直线 AM
的倾斜角为 π . 4
又 A(-2,0),因此直线 AM 的方程为 y=x+2.
将 x=y-2 代入 x2 + y 2 =1 得 7y2-12y=0, 43

解得 y=0 或 y= 12 ,所以 y1= 12 .

7

7

因此△AMN 的面积 S△AMN=2× 1 × 12 × 12 = 144 . 2 7 7 49

(2)当 2|AM|=|AN|时,证明: 3 <k<2.

(2)证明:将直线 AM 的方程 y=k(x+2)(k>0)代入 x2 + y 2 =1 得 43

(3+4k2)x2+1 6k2x+16k2-12=0,

? ? 由

x1·(-2)=

16k 2 ?12 3 ? 4k 2



x1=

2 3 ? 4k2 3 ? 4k 2

,

故|AM|=|x1+ 2|

1? k2 = 12 1? k 2 . 3 ? 4k 2

由题设,直线 AN 的方程为 y=- 1 (x+2), k

故同理可得|AN|= 12k 1? k 2 . 3k 2 ? 4
由 2|AM|=|AN|,得 2 = k , 3 ? 4k 2 3k 2 ? 4
即 4k3-6k2+3k-8=0, 设 f(t)=4t3-6t2+3t-8, 则 k 是 f(t)的零点,f′(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)2≥0,所以 f(t)在(0,+∞)上单调 递增,又 f( 3 )=15 3 -26<0,f(2)=6>0,因此 f(t)在(0,+∞)有唯一的零点,且零 点 k 在( 3 ,2)内,所以 3 <k<2.

方法技巧

(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是“设而不求”,即先把直线方程与椭圆 方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题.涉及弦的中点的问题 常常利用“点差法”解决,会更简单.

(2)设直线与椭圆的交点坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2),则

? ? |AB|=

1? k2

??? x1

?

?x2 2

?

4

x1x2

? ?

=

???1 ?

1 k2

? ??

???

y1

?

y2

?2

?

4 y1y2

? ?

(k 为直线的斜率).

(3)有关直线被抛物线截得的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过焦点,可直接使用

抛物线焦点弦长公式|AB|=x1+x2+p;若不过焦点,则必须用一般弦长公式. 注意:利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在对应一元二次方程有两个不相等的实数根的前提 下进行的,不要忽略一元二次方程的根的判别式大于0的条件.

【题组训练】 1.已知直线 y=kx+1(k≠0)交抛物线 x2=4y 于 E 和 F 两点,以 EF 为直径的圆被 x 轴截得的弦长为

2 7 ,则 k=

.

解析:由

?? ? ??

y ? kx x2 ? 4

? 1, y,

消去

y

整理得

x2-4kx-4=0,

设 E(x1,y1),F(x2,y2),则 x1+x2=4k,x1x2=-4,所以 y1+y2=k(x1+x2)+2=4k2+2.

由抛物线的定义可得|EF|=y1+y2+2=4k2+4,

所以以 EF 为直径的圆的半径为 1 |EF|=2k2+2,圆心到 x 轴的距离为 1 (y1+y2)=2k2+1,

2

2

由题意得(2k2+2)2=( 7 )2+(2k2+1)2,解得 k=±1.

答案:±1

2.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C: x2 + y2 =1(a>b>0)的离心率 e= 2 ,且

a2 b2

2

点 P(2,1)在椭圆 C 上.

(1)求椭圆 C 的方程;

?c 2

?e ?

?

a

?

2

,

解:(1)由题意得

? ? ?

4 a2

?

1 b2

? 1,





??a ?

?

??b ?

?a2 ? b2 ? c2,

?

?

6, 所以椭圆 C 的方程为 x2 ? y2 ? 1 .

3,

63

(2)若点A,B都在椭圆C上,且AB中点M在线段OP(不包括端点)上.求△AOB面积的最大值. 解:(2)法一 设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),直线 AB 的斜率为 k,



? ??

x12 6

? ?

x22

?? 6

? ?

y12 3 y22 3

? 1, ? 1,

所以 x12 ? x22 + y12 ? y22 =0.所以 2x0 + 2 y0 ·k=0.

6

3

63

又直线 OP:y= 1 x,M 在线段 OP 上, 所以 y0= 1 x0,所以 k=-1.

2

2

法二 设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),直线 AB 的方程为 y-y0=k(x-x0),



?y ?

?

y0

?

? x2 ?

?

y2

k?x
? 1,

?

x0

?,

所以(1+2k2) x2+4k(y0-kx0)x+2

?

y0

?

kx0

?2

-6=0,

?6 3

由题意,Δ>0,

所以

x1+x2=-

4k ? y0 ? kx0
1 ? 2k 2

?

, 所以

x0=-

2k ? y0 ? kx0
1 ? 2k 2

?

,

又直线 OP:y= 1 2

x,M 在线段 OP 上,

所以 y0= 1 2

x0,所以 -

2k

? ??

1 2

?

k

1 ? 2k 2

? ??

=1,所以 k=-1.

法三 设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),直线 AB 的方程为 y=kx+m,

? y ? kx ? m,



? ?

x

2

y2

所以(1+2k2)x2+4kmx+2m2-6=0

?? 6 ? 3 ? 1,

由题意,Δ>0,

所以

x1+x2=-

1

4km ? 2k

2

,所以

x0=-

1

2km ? 2k

2

,



又直线 OP:y= 1 x,M 在线段 OP 上, 所以 y0= 1 x0,



2

2

M 在直线 AB 上,所以 y0=kx0+m,



解①②③得 k=-1, 设直线 AB 的方程为 y=-x+m,m∈(0,3),

? y ? ?x ? m,



? ? x2 ?? 6

?

y2 3

? 1,

所以 3x2-4mx+2m2-6=0,

?

?? ? 0, ?

所以

? ?

x1

?

?

x2

?

4m 3

,

?

?m2 ? 6

??x1x2 ? 3 ,

所以|AB|= 12 ? ??1?2 |x1-x2|= 4 9 ? m2 ,
3

原点到直线的距离 d= m , 2

? ? 所以 S = △OAB 1 × 4 9 ? m2 · m = 2 9 ? m2 m2 ≤ 3 2 ,

23

23

2

当且仅当 m= 3 2 ∈(0,3)时,等号成立. 2

所以△AOB 面积的最大值为 3 2 . 2

考点三 中点弦问题

【例 3】 已知椭圆: y2 +x2=1,过点 P( 1 , 1 )的直线与椭圆相交于 A,B 两点,

9

22

且弦 AB 被点 P 平分,则直线 AB 的方程为( )

(A)9x-y-4=0 (B)9x+y-5=0

(C)2x+y-2=0 (D)x+y-5=0

解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2),因为 A,B 在椭圆

y2 9

+x

2=1

上,所以

? ?? ? ?

y12 9 y22

?? 9

? ?

x12 x22

? 1, ? 1,

两 式相减



y12

? 9

y22

+

x12

-

x22

=0,即

? y1 ?

y2 ?? y1
9

?

y2 ?

+( x1-x2)(x1+x2)=0,又弦

AB

被点

P( 1 , 1 )平分,所以 x1+x2=1,y1+y2=1,将其代入上式得 y1 ? y2 +x1-x2=0,即

22

9

y1 ? y2 =-9,即直线 AB 的斜率为-9,所以直线 AB 的方程为 y- 1 =-9(x- 1 ),即

x1 ? x2

2

2

9x+y-5=0.故选 B.

方法技巧
处理中点弦问题常用 的求解方法 (1)点差法:即设 出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程, 并将两式相减,式中含有 x1+x2,y1+y2, y1 ? y2 三个未知量,这样就直接联系了中点和直线的斜率,借用中点公
x1 ? x2 式即可求得斜率.
(2)根与系数的关系:即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组,化为一元二 次方程后,由根与系数的关系求解.

【题型训练】 已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于 P,Q两点. (1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明:AR∥FQ;

(1)证明:由题意知,F( 1 ,0),设 l1:y=a,l2:y=b,则 ab≠0, 2

且 A( a2 ,a),B( b2 ,b),P(- 1 ,a),Q(- 1 ,b),R(- 1 , a ? b ).

2

2

2

2

22

记过 A,B 两点的直线为 l,则 l 的方程为 2x-(a+b)y+ab=0.

由于 F 在线段 AB 上,故 1+ab=0.记 AR 的斜率为 k1,FQ 的斜率为 k2,



k1=

a?b 1? a2

=

a?b a2 ? ab

=

1 a

=-

ab a

=- b=

b?0 ?1 ?1

=k2.所以

AR∥FQ.

22

(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.

(2)解:设过 A,B 的直线为 l,设 l 与 x 轴的交点为 D(x1,0),

则 S = △ABF 1 |b-a|·|FD|= 1 |b-a|·|x1- 1 |,

2

2

2

S = △PQF a ? b . 2

由题意可得|b-a|·|x1- 1 |= a ? b ,

2

2

所以 x1=1,x1=0(舍去). 设满足条件的 AB 的中点为 E(x,y).

当 AB 与 x 轴不垂直时,由 kAB=kDE 可得 2 = y (x≠1). a ?b x ?1
而 a ? b =y,所以 y2=x-1(x≠1). 2
当 AB 与 x 轴垂直时,E 与 D 重合,此时 E 点坐标为(1,0), 所以,所求轨迹方程为 y2=x-1.

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