导数压轴题之隐零点问题

导数压轴题之隐零点问题 导数压轴题之隐零点问题(共 13 题) 1.已知函数 f(x)=(aex﹣a﹣x)ex(a≥0,e=2.718…,e 为自然对数的底数) , 若 f(x)≥0 对于 x∈R 恒成立. (1)求实数 a 的值; (2)证明:f(x)存在唯一极大值点 x0,且 . 【解答】 (1)解:f(x)=ex(aex﹣a﹣x)≥0,因为 ex>0,所以 aex﹣a﹣x≥0 恒成立, 即 a(ex﹣1)≥x 恒成立, x=0 时,显然成立, x>0 时,ex﹣1>0, 故只需 a≥ 令 h(x)= h′(x)= 在(0,+∞)恒成立, , (x>0) , <0, 故 h(x)在(0,+∞)递减, 而 故 a≥1, x<0 时,ex﹣1<0, 故只需 a≤ 令 g(x)= g′(x)= 在(﹣∞,0)恒成立, , (x<0) , >0, = =1, 故 h(x)在(﹣∞,0)递增, 而 故 a≤1, = =1, 综上:a=1; (2)证明:由(1)f(x)=ex(ex﹣x﹣1) , 故 f'(x)=ex(2ex﹣x﹣2) ,令 h(x)=2ex﹣x﹣2,h'(x)=2ex﹣1, 所以 h(x)在(﹣∞,ln )单调递减,在(ln ,+∞)单调递增, h(0)=0,h(ln )=2eln ﹣ln ﹣2=ln2﹣1<0,h(﹣2)=2e﹣2﹣(﹣2)﹣ 2= >0 , ∵h(﹣2)h(ln )<0 由零点存在定理及 h(x)的单调性知, 方程 h(x)=0 在(﹣2,ln )有唯一根, 设为 x0 且 2ex0﹣x0﹣2=0,从而 h(x)有两个零点 x0 和 0, 所以 f(x)在(﹣∞,x0)单调递增,在(x0,0)单调递减,在(0,+∞)单调 递增, 从而 f(x)存在唯一的极大值点 x0 即证, 由 2ex0﹣x0﹣2=0 得 ex0= ∴( f x0) =ex0 (ex0﹣x0﹣1) = 2 ,x0≠﹣1, ( ﹣x0﹣1) = (﹣x0) (2+x0) ≤( ) = , 取等不成立,所以 f(x0)< 得证, 又∵﹣2<x0<ln ,f(x)在(﹣∞,x0)单调递增 所以 f(x0)>f(﹣2)=e﹣2[e﹣2﹣(﹣2)﹣1]=e﹣4+e﹣2>e﹣2>0 得证, 从而 0<f(x0)< 成立. 2.已知函数 f(x)=ax+xlnx(a∈R) (1)若函数 f(x)在区间[e,+∞)上为增函数,求 a 的取值范围; (2)当 a=1 且 k∈Z 时,不等式 k(x﹣1)<f(x)在 x∈(1,+∞)上恒成立, 求 k 的最大值. 【解答】解: (1)∵函数 f(x)在区间[e,+∞)上为增函数, ∴f′(x)=a+lnx+1≥0 在区间[e,+∞)上恒成立,∴a≥(﹣lnx﹣1)max=﹣2. ∴a≥﹣2. ∴a 的取值范围是[﹣2,+∞) . (2)a=1 时,f(x)=x+lnx,k∈Z 时,不等式 k(x﹣1)<f(x)在 x∈(1,+∞) 上恒成立, ∴k< 令 g(x)= , ,则 g′(x)= , 令 h(x)=x﹣lnx﹣2(x>1) . 则 h′(x)=1﹣ = >0,∴h(x) 在 (1,+∞)上单增, ∵h(3)=1﹣ln3<0,h(4)=2﹣2ln2>0, 存在 x0∈(3,4) ,使 h(x0)=0. 即当 1<x<x0 时 h(x)<0 x>x0 时 h(x)>0 即 g′(x)<0 即 g′(x)>0 g(x)在 (1,x0)上单减,在 (x0+∞)上单增. 令 h(x0)=x0﹣lnx0﹣2=0,即 lnx0=x0﹣2, g(x)min=g(x0)= = =x0∈(3,4) . k<g(x)min=x0∈(3,4) ,且 k∈Z, ∴kmax=3. 3.函数 f(x)=alnx﹣x2+x,g(x)=(x﹣2)ex﹣x2+m(其中 e=2.71828…) . (1)当 a≤0 时,讨论函数 f(x)的单调性; (2)当 a=﹣1,x∈(0,1]时,f(x)>g(x)恒成立,求正整数 m 的最大值. 【解答】解: (1)函数 f(x)定义域是(0,+∞) , , (i)当 时,1+8a≤0,当 x∈(0,+∞)时 f'(x)≤0, 函数 f(x)的单调递减区间是(0,+∞) ; (ⅱ)当 , ,﹣2x2+x+a=0 的两根分别是: , 当 x∈(0,x1)时 f'(x)<0.函数 f(x)的单调递减. 当 x∈(x1,x2)时 f'(x)>0,函数 f(x)的单调速递增, 当 x∈(x2,+∞)时 f'(x)<0,函数 f(x)的单调递减; 综上所述, (i)当 (ⅱ)当 单调递减区间是 时 f(x)的单调递减区间是(0,+∞) , 时,f(x)的单调递增区间是 和 , (2)当 a=﹣1,x∈(0,1]时,f(x)>g(x) ,即 m<(﹣x+2)ex﹣lnx+x, 设 h(x)=(﹣x+2)ex﹣lnx+x,x∈(0,1],∴ ∴当 0<x≤1 时,1﹣x≥0, 设 ,则 ,∴u(x)在(0,1)递增, , 又∵u(x)在区间(0,1]上的图象是一条不间断的曲线, 且 ∴ , 使得 u(x0)=0,即 , 当 x∈(0,x0)时,u(x)<0,h'(x)<0; 当 x∈(x0,1)时,u(x)>0,h'(x)>0; ∴函数 h(x)在(0,x0]单调递减,在[x0,1)单调递增, ∴ ∵ ∵ 在 x∈(0,1)递减, ,∴ , = , ∴当 m≤3 时,不等式 m<(﹣x+2)ex﹣lnx+x 对任意 x∈(0,1]恒成立, ∴正整数 m 的最大值是 3. 4.已知函数 f(x)=ex+a﹣lnx(其中 e=2.71828…,是自然对数的底数) . (Ⅰ)当 a=0 时,求函数 a=0 的图象在(1,f(1) )处的切线方程; (Ⅱ)求证:当 时,f(x)>e+1. , 【解答】 (Ⅰ)解:∵a=0

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