1.2 应用举例(一) 有关角度的测量问题

鸡西市第十九中学高一数学组 鸡西市第十九中学学案 2015 年( )月( )日 班级 姓名 1.2 应用举例(一) 有关角度的测量问题 学习 目标 重点 难点 在我们将所求距离或方向的问题转化为一个求三角形的边和角的问题时, 我们 选择的三角形往往条件不够, 这时需要我们寻找其他的三角形作为我们解这个 三角形的支持,为我们解这个三角形提供必要的条件. 在测量某物体高度的问题中, 很多被测量的物体是一个立体的图形, 而在测量 过程中, 我们测量的角度也不一定在同一垂面内, 因此还需要我们有一定的空 间想象能力,关键是画出图形,把已知量和未知量归结到三角形中来求解. 【引入】 1. “遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢?” .在古代,天文学家没有先进的仪器就 已经估算出了两者的距离,是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢? 2. 现实生活中, 人们经常遇到测量不可到达点之间的距离、 底部不可到达建筑物的高度, 以及在航海中航向的确定.这些问题究竟怎样解决? 恰当利用我们所学过的正弦定理、余弦定理就可以解决上述问题,这节课我们就来探究 上述问题. 【几个基本概念】 1.基线的定义:在测量上,我们根据测量需要适当确定的线段叫做 . 一般来说,基线越长,测量的精确度 . 2.方位角:指从正北方向线按顺时针方向旋转到目标方向线所成的水平角. 如图中的 A 点的方位角为 α. 3.仰角和俯角:与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线 在水平线 方时叫仰角,目标视线在水平线 方时叫俯角.(如图所示) 4.如图,在河岸 AC 测量河的宽度 BC,测量下列四组数据,较适宜的是 ( A.a,c,α B.b,c,α C.c,a,β D.b,α,β 【探究一】测量不可达距离的方法 问题 测量不可达距离有哪些基本类型?每种类型的解决方案是怎样的? 1 ) 鸡西市第十九中学高一数学组 探究 类别 表中是测量距离的基本类型及方案,请你根据所给图形,填写相应的结论: 两点间不可达或不可视 两点间可视但点不可达 两点都不可达 图形 方 法 用余弦定理 用正弦定理 在△ACD 中用正弦定理求 AC 在△BCD 中用正弦定理求 BC 在△ABC 中用余弦定理求 AB ①AC= ②BC= ③AB= 结 论 AB= AB= 【探究二】测量底部不可到达的建筑物的高度 问题 底部不可到达的高度测量有哪些基本类型?每种类型如何测量? 探究 下表是测量高度的基本类型及方案,请你根据所给图形,填写相应结论: 类别 点 B 与点 C、D 共线 点 B 与点 C、D 不共线 图形 方法 结论 先用正弦定理求出 AC 或 AD, 再解直角三角形求出 AB AB= 在△BCD 中先用正弦定理求出 BC,在△ ABC 中∠ACB 可知,即而求出 AB AB= 例 1 为了测量两山顶 M、N 间的距离,飞机沿水平方向在 A、B 两点进行测量,A、B、 M、N 在同一铅垂平面内.飞机已经测量的数据有 A 点到 M、N 点的俯角 α1、β1;B 点到 M、N 点的俯角 α2、β2;A、B 的距离 d(如图所示). 2 鸡西市第十九中学高一数学组 甲乙两位同学各自给出了计算 MN 的两种方案,请你补充完整. 甲方案:第一步:计算 AM.由正弦定理 AM= ; 第二步:计算 AN.由正弦定理 AN= ; 第三步:计算 MN.由余弦定理 MN= . 乙方案:第一步:计算 BM. 由正弦定理 BM= ; 第二步:计算 BN.由正弦定理 BN= ; 第三步:计算 MN.由余弦定理 MN= . 小结 测量两个不可到达的点之间的距离问题.首先把求不可到达的两点 A,B 之间的 距离转化为应用余弦定理求三角的边长问题,然后在相关三角形中计算其他边. 训练 1 在相距 2 千米的 A、 B 两点处测量目标点 C, 若∠CAB=75° , ∠CBA=60° , 则 A、 C 两点之间的距离为 千米. 例 2 如图所示,在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角为 α,在塔底 C 处测得 A 处的俯角为 β.已知铁塔 BC 部分的高为 h,求出山高 CD. 小结 在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时,通常都根据题意,从实际问题中抽 象出一个或几个三角形,然后通过解这些三角形,得出实际问题的解.和高度有关的问 题往往涉及直角三角形的求解. 3 鸡西市第十九中学高一数学组 训练 2 如图所示,D、C、B 三点在地面同一直线上,DC=a,从 C、D 两点 测得 A 点的仰角分别是 β、α(β<α).则 A 点离地面的高 AB 等于( ) asin αsin β asin αsin β asin αcos β acos αcos β A. B. C. D. sin?α-β? cos?α-β? sin?α-β? cos?α-β? 例 3 某渔船在航行中不幸遇险,发出呼叫信号,我海军舰艇在 A 处获悉后,立即测出 该渔船在方位角为 45° ,距离为 10 海里的 C 处,并测得渔船正沿方位角为 105° 的方向, 以 10 海里/小时的速度向小岛靠拢,我海军舰艇立即以 10 3海里/小时的速度前去营救, 求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间. 小结 航海问题是解三角形应用问题中的一类很重要的问题,解决这类问题一定要搞清 方位角,再就是选择好不动点,然后根据条件,画出示意图,转化为三角形问题. 训练 3 甲船在 A 处观察到乙船在它的北偏东 60° 方向的 B 处,两船相距 a n mile,乙船 向正北方向行驶.若甲船的速度是乙船速度的 3倍,问甲船应沿什么方向前进才能最快 追上乙船?相遇时乙船行驶多少 n mile? 【当堂训练】 1.如图所示,设 A、B 两点在河的两岸,一测量者在 A 的同侧,在 A 所在的河岸边选 定一点 C,测出 AC 的距离为 50 m,∠ACB=45° ,∠CAB=105° 后,就可以计算

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