高中数学教学论文 解析几何中求参数取值范围的方法

解析几何中求参数取值范围的方法
近几年来, 与解析几何有关的参数取值范围的问题经常出现在高考考试中, 这类问题不仅涉 及知识面广,综合性大,应用性强,而且情景新颖,能很好地考查学生的创新能力和潜在的 数学素质,是历年来高考命题的热点和重点。那么,如何构造不等式呢?本文介绍几种常见 的方法: 一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式 曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围,如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 上的点 P(x,y)满足 -a≤x≤a,-b≤y≤b,因而可利用这些范围来构造不等式求解,另外,也常出现题中有多个变 量,变量之间有一定的关系,往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等 式,再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法. 例 1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 (a>b>0), A,B 是椭圆上的两点,线段 AB 的垂直平分线 与 x 轴相交于点 P(x0 , 0) 求证:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a 分析:先求线段 AB 的垂直平分线方程,求出 x0 与 A,B 横坐标的关系,再利用椭圆上的点 A,B 满足的范围求解. 解: 设 A,B 坐标分别为(x1,y1) ,(x2,y2),(x1≠x2)代入椭圆方程,作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 ?x2+x1 y2+y1 又∵线段 AB 的垂直平分线方程为 y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 (x-x1+x22 ) 令 y=0 得 x0=x1+x22 ?a2-b2a2 又∵A,B 是椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 上的点 ∴-a≤x1≤a, -a≤x2≤a, x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a ∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a 例 2 如图,已知△OFQ 的面积为 S,且 OF?FQ=1,若 12 < S <2 ,求向量 OF 与 FQ 的夹角 θ 的取值范围. 分析:须通过题中条件建立夹角 θ 与变量 S 的关系,利用 S 的范围解题.

解: 依题意有 ∴tanθ =2S ∵12 < S <2 ∴1< tanθ <4 又∵0≤θ ≤π ∴π 4 <θ < p> 例 3 对于抛物线 y2=4x 上任一点 Q,点 P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则 a 的取值范围是 ( ) A a<0 B a≤2 C 0≤a≤2 D 0<2< p> 分析:直接设 Q 点坐标,利用题中不等式|PQ|≥|a| 求解. 解: 设 Q( y024 ,y0) 由|PQ| ≥a 得 y02+( y024 -a)2≥a2 即 y02(y02+16-8a) ≥0 ∵y02≥0 ∴(y02+16-8a) ≥0 即 a≤2+ y028 恒成立 又∵ y02≥0 而 2+ y028 最小值为 2 ∴a≤2 选( B ) 二、利用判别式构造不等式 在解析几何中,直线与曲线之间的位置关系,可以转化为一元二次方程的解的问题,因此 可利用判别式来构造不等式求解. 例 4 设抛物线 y2 = 8x 的准线与 x 轴交于点 Q,若过点 Q 的直线 L 与抛物线有公共点,则 直线 L 的斜率取值范围是 ( ) A [-12 ,12 ] B [-2,2] C [-1,1] D [-4,4] 分析:由于直线 l 与抛物线有公共点,等价于一元二次方程有解,则判别式△≥0 解:依题意知 Q 坐标为(-2,0) , 则直线 L 的方程为 y = k(x+2) 由 得 k2x2+(4k2-8)x+4k2 = 0 ∵直线 L 与抛物线有公共点

∴△≥0 即 k2≤1 解得-1≤k≤1 故选 (C) 例 5 直线 L: y = kx+1 与双曲线 C: 2x2-y2 = 1 的右支交于不同的两点 A、B,求实数 k 的取值范围. 分析:利用直线方程和双曲线方程得到 x 的一元二次方程,由于直线与右支交于不同两 点,则△>0,同时,还需考虑右支上点的横坐标的取值范围来建立关于 k 的不等式. 解:由 得 (k2-2)x2 +2kx+2 = 0 ∵直线与双曲线的右支交于不同两点,则 解得 -2<-2< p> 三、利用点与圆锥曲线的位置关系构造不等式 曲线把坐标平面分成三个区域,若点 P(x0,y0)与曲线方程 f(x,y)=0 关系:若 P 在曲线 上,则 f(x0,y0)=0;若 P 在曲线内,则 f(x0,y0)<0;若 P 在曲线外,则 f(x0,y0)>0;可见, 平面内曲线与点均满足一定的关系。故可用这些关系来构造不等式解题. 例 6 已知椭圆 2x2 + y2 = a2 (a>0)与连结两点 A(1,2)、B(2,3)的线段没有公共点,求 实数 a 的取值范围. 分析:结合点 A,B 及椭圆位置,可得当 AB 两点同时在椭圆内或同时在椭圆外时符合条件. 解:依题意可知,当 A、B 同时在椭圆内或椭圆外时满足条件。 当 A、B 同时在椭圆内,则 解得 a >17 当 A、B 同时在椭圆外,则 解得 0<6< p> 综上所述,解得 0<6 或 a>17 例 7 若抛物线 y2=4mx (m≠0)的焦点在圆(x-2m)2+(y-1)2=4 的内部,求实数 m 的取值范 围. 分析:由于焦点(m,0)在圆内部,则把(m,0)代入可得. 解:∵抛物线的焦点 F(m,0)在圆的内部,

∴(m-2m)2+(0-1)2<4 即 m2<3 又∵m≠0 ∴-3 <0 或 0<3< p> 四、利用三角函数的有界性构造不等式 曲线的参数方程与三角函数有关,因而可利用把曲线方程转化为含有三角函数的方程, 后利用三角函数的有界性构造不等式求解。 例 8 若椭圆 x2+4(y-a)2 = 4 与抛物线 x2=2y 有公共点, 求实数 a 的取值范围. 分析: 利用椭圆的参数方程及抛物线方程,得到实数 a 与参数 θ 的关系,再利用三角函 数的有界性确定 a 的取值情况. 解:设椭圆的参数方程为 (θ 为参数) 代入 x2=2y 得 4cos2θ = 2(a+sinθ ) ∴a = 2cos2θ -sinθ =-2(sinθ + 14 )2+ 178 又∵-1≤sinθ ≤1,∴-1≤a≤178 例 9 已知圆 C:x2 +(y-1)2= 1 上的点 P(m,n),使得不等式 m+n+c≥0 恒成立,求实数 c 的取值范围 分析:把圆方程变为参数方程,利用三角函数的有界性,确定 m+n 的取值情况,再确定 c 的取值范围. 解:∵点 P 在圆上,∴m = cosβ ,n = 1+sinβ (β 为参数) ∵m+n = cosβ +1+sinβ = 2 sin(β + π 4 )+1 ∴m+n 最小值为 1-2 , ∴-(m+n)最大值为 2 -1 又∵要使得不等式 c≥-(m+n) 恒成立

∴c≥2 -1 五、利用离心率构造不等式 我们知道,椭圆离心率 e∈(0,1),抛物线离心率 e = 1,双曲线离心率 e>1,因而可利 用这些特点来构造相关不等式求解. 例 10 已知双曲线 x2-3y2 = 3 的右焦点为 F, 右准线为 L, 直线 y=kx+3 通过以 F 为焦点,L 为相应准线的椭圆中心,求实数 k 的取值范围. 分析:由于椭圆中心不在原点,故先设椭圆中心,再找出椭圆中各量的关系,再利用椭圆 离心率 0<1,建立相关不等式关系求解.< p> 解:依题意得 F 的坐标为(2,0),L:x = 32 设椭圆中心为(m,0),则 m-2 =c 和 m-32 = a2c 两式相除得: m-2m-32 = c2a2 = e2 ∵0<1,∴0<1,解得 m>2, 又∵当椭圆中心(m,0)在直线 y=kx+3 上, ∴0 = km+3 ,即 m = - 3k , ∴- 3k >2,解得-32 <0< p>


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