非常好的二次函数系列题


第1讲 二次函数的图象与性质
重难点易错点辨析
1.

y ? ax2 ? bx ? c ? a ? 0? 是 一 条 抛 物 线 , 关 于 x ? ? 2a
? ? ? ?

b

对称,顶点坐标为

? b 4ac ? b 2 ? ? ? 2a , 4a ?
2.

a ? 0 时,开口向上; a ? 0 时,开口向下;开口大小由 a 越大,开口越小

3. 增减性: a ? 0 , x ? ?

b 时, y 随 x 的增大而减小; 2a

b 时, y 随 x 的增大而增大; 2a b a ? 0, x ? ? 时, y 随 x 的增大而增大; 2a b a ? 0, x ? ? 时, y 随 x 的增大而减小. 2a
a ? 0,x ? ?
题一:如图所示的二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象中,刘星同学观察得出了下面四条信息: (1) b ? 4ac ? 0 ;(2)c>1;(3)2a-b<0;(4)a+b+c<0.你认为其中错误 的有( ..
2

)

A.2 个

B.3 个

C.4 个

D.1 个

满分冲刺
题一:函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 图象如下所示,下列结论正确的是:__________
2

① abc ? 0 ②b ? a ? c ③ 4a+2b+c>0 ④ 2c<3b ⑤ 2a+b=0 ⑥a+b>m(am+b)

⑦ b ? 4ac ? 0
2

题二:设二次函数 y ? ?

二次函数的图象在点 B,C 间的部分(含点 B 和点 C)向左平移 n(n ? 0) 个单位后得到的图象 记为 G,同时将直线 y ? 4 x ? 6 向上平移 n 个单位.请结合图象回答:当平移后的直线与图 象 G 有公共点时,n 的取值范围.

1 2 3 x ? x ? 的图象与 x 轴交于点 B,C(点 B 在点 C 的左侧),将 2 2

思维拓展
题一:已知
2 2 y ? 1,且 2 x ? y ? 1 ,求 2 x ? 16 x ? 3 y 的最小值.

第2讲 二次函数的最值问题
金题精讲
题一:当?1≤x≤2 时,函数 y=2x2?4ax+a2+2a+2 有最小值 2, 求 a 的所有可能取值.

满分冲刺

题一: 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中,二次函数 y ?

3 2 x ? bx ? c 的图象与 x 轴交于 A (?1,0)、 2

B (3,0)两点, 顶点为 C . (1)求此二次函数解析式;
(2)点 D 为点 C 关于 x 轴的对称点,过点 A 作直线 l : y ? 3 x ? 3 交 BD 于点 E,过点 B 作 3 3 直线 BK// AD 交直线 l 于 K 点.问:在四边形 ABKD 的内部是否存在点 P,使得它到四边形 ABKD 四边的距离都相等,若存在,请求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)在(2)的条件下, 若 M 、N 分别为直线 AD 和直线 l 上的两个动点, 连结 DN 、NM 、MK , DN ? NM ? MK 求 和的最小值.

第3讲 实际问题与二次函数
重难点易错点辨析
题一:如图,某种新型导弹从地面发射点L处发射,在初始竖直加速飞行阶段,导弹上升的 高度 y(km)与飞行时间 x(s)之间的关系式为 y ?

1 2 1 x ? x (0 ? x ? 10) . 发射 3s 后,导弹 18 6

到达 A 点,此时位于与 L 同一水平面的 R 处雷达站测得 AR 的距离是 2km,再过 3s 后,导 弹到达 B 点. (1)求发射点 L 与雷达站 R 之间的距离; (2)求 B 点与地面的高度.

金题精讲
题一:如图,排球运动员站在点 O 处练习发球,将球从 O 点正上方 2m 的 A 处发出,把球 看成点,其运行的高度 y(m)与运行的水平距离 x(m)满足关系式 y=a(x?6)2+h.已知球网与 O 点的水平距离为 9m,高度为 2.43m,球场的边界距 O 点的水平距离为 18m. (1)当 h=2.6 时,求 y 与 x 的关系式(不要求写出自变量 x 的取值范围) (2)当 h=2.6 时,球能否越过球网?球会不会出界?请说明理由; (3)若球一定能越过球网,又不出边界,求 h 的取值范围.

满分冲刺
题一:为鼓励大学毕业生自主创业,某市政府出台了相关政策:由政府协调,本市企业按成 本价提供产品给大学毕业生自主销售, 成本价与出厂价之间的差价由政府承担. 李明按照相 关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯.已知这种节能灯的成本价为每件 10 元,出厂 价为每件 12 元,每月销售量 y(件)与销售单价 x(元)之间的关系近似满足一次函数: y=?10x+500. (1) 李明在开始创业的第一个月将销售单价定为 20 元, 那么政府这个月为他承担的总差价 为多少元? (2)设李明获得的利润为 w(元),当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润? (3)物价部门规定,这种节能灯的销售单价不得高于 25 元.如果李明想要每月获得的利润 不低于 3000 元,那么政府为他承担的总差价最少为多少元?

思维拓展
题一:如图,济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁,抛物线的表达式为 y=ax2+bx.小强骑自 行车从拱梁一端 O 沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面 OC,当小强骑自行车行驶 10 秒时和 26 秒时拱梁的高度相同,则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面 OC 共需_____秒.

第4讲 二次函数与方程、不等式之间的关系
重难点易错点辨析
题一:不等式 x ? 2 x ? 2 ? 1 的解集为_________
2

金题精讲
题一:已知关于 x 的方程(m?1)x2?(2m?1)x+2=0 有两个正整数根. (1)确定整数 m 值; (2)在(1)的条件下,利用图象写出方程(m?1)x2?(2m?1)x+2+

m =0 的实数根的个数. x

满分冲刺
2 题一:设 k 为实数,讨论关于 x 的方程 x ? 1 ? x ? k 的解的个数.

思维拓展
题面:设关于 x 的方程 ax ? ? a ? 2? x ? 9a ? 0 有两个不相等的实根 x1, x2 ,
2

且x1 ? 1 ? x2 ,那么 a 取值范围是()
A. ?

2 2 ?a? 7 5

B. a ?

2 5

C. a ? ?

2 7

D. ?

2 ?a?0 11

第5讲 二次函数中的面积问题

金题精讲
题一:已知直线 y=kx?3 与 x 轴交于点 A(4,0),与 y 轴交于点 C,抛物线 y ? ? 经过点 A 和点 C. (1)求此抛物线的解析式和直线的解析式; (2)在直线 CA 上方的抛物线上是否存在一点 D,使得△ACD 的面积最大,若存在,求出点 D 坐标;若不存在,请说明理由.

3 2 x ? mx ? n 4

满分冲刺
题一: 如图, 在平面直角坐标系中, 点 A 的坐标为(1, 3 ), 点 B 在 x 轴的负半轴上, ∠ABO=30°. (1)求过点 A、O、B 的抛物线的解析式; (2)在(1)中 x 轴下方的抛物线上是否存在一点 P,过点 P 作 x 轴的垂线,交直线 AB 于点 D, 线段 OD 把△AOB 分成两个三角形.使其中一个三角形面积与四边形 BPOD 面积比为 2:3? 若 存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

思维拓展
题一:在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y ? x ? 2mx ? m ? m 的顶点为 C .
2 2

(1)求点 C 的坐标(用含 m 的代数式表示); (2)直线 y ? x ? 2 与抛物线交于 A 、B 两点, 点 A 在抛物线的对称轴左侧, 若 P 为直线 OC 上一动点,求△ APB 的面积.

第6讲 二次函数压轴题(选填题)
题一: 若二次函数 y=x2?(2p+1)x?3p 在?1≤x≤1 的范围内至少有一个 x 的值使 y≥0 成立, 则 p 的取值范围是( ) A.p>2 B.p>0 C.p≤2 D.0<p≤2 题二:抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)满足条件:(1)4a?b=0;(2)a?b+c>0;(3)与 x 轴有两个交点,

且两交点间的距离小于 2.以下有四个结论:①a<0;②c>0;③a+b+c<0;④ 其中所有正确结论的序号是___________.

c c <a< , 4 3

题三:二次函数 y=ax2+bx+1(a≠0)的图象的顶点在第一象限,且过点(?1,0).设 t=a+b+1,则 t 值的变化范围是( ) A.0<t<2 B.0<t<1 C.1<t<2 D.?1<t<1

第7讲 二次函数压轴题(面积问题)
题一:如图,在平面直角坐标系中,矩形 OCDE 的三个顶点分别是 C(3,0),D(3,4),E(0, 4). 点 A 在 DE 上, 以 A 为顶点的抛物线过点 C, 且对称轴 x=1 交 x 轴于点 B. 连接 EC, AC. 点 P,Q 为动点,设运动时间为 t 秒. (1)填空:点 A 坐标为_______;抛物线的解析式为________. (2)在图 1 中,若点 P 在线段 OC 上从点 O 向点 C 以 1 个单位/秒的速度运动,同时,点 Q 在 线段 CE 上从点 C 向点 E 以 2 个单位/秒的速度运动,当一个点到达终点时,另一个点随之停 止运动.当 t 为何值时,△PCQ 为直角三角形? (3)在图 2 中,若点 P 在对称轴上从点 A 开始向点 B 以 1 个单位/秒的速度运动,过点 P 作 PF ⊥AB,交 AC 于点 F,过点 F 作 FG⊥AD 于点 G,交抛物线于点 Q,连接 AQ,CQ.当 t 为何 值时,△ACQ 的面积最大?最大值是多少?

图1

图2

第8讲 二次函数压轴题(存在性问题)
1 题一:二次函数图象的顶点在原点 O,经过点 A(1, ),点 F(0,1)在 y 轴上.直线 y= ?1 与 4 y 轴交于点 H. (1)求二次函数的解析式; (2)点 P 是(1)中图象上的点,过点 P 作 x 轴的垂线与直线 y= ?1 交于点 M,求证:FM 平分∠ OFP; (3)当△FPM 是等边三角形时,求 P 点的坐标.


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