二次函数根与系数关系

二次函数之根与系数的关系,旋转 1.已知抛物线 y=-x?+3x+6 交 y 轴于 A 点,点 C(4,k)在抛物线上,将抛物线向右平移 n 个 单位长度后与直线 AC 交于 M、N 两点,且 M、N 关于 C 点成中心对称,求 n 的值

2.如图,已知抛物线 y=x?-4x+3,过点 D(0,-

5 )的直线与抛物线交于点 M、N,与 x 轴交于 2

点 E,且点 M、N 与 X 轴交于 E 点,且 M、N 关于点 E 对称,求直线 MN 的解析式

3.如图1,已知△ABC为直角三角形,∠ACB ,AC BC,点A、C在x轴上,点B的坐标 为(3,m)(m>0),线段AB与y轴相较于点D,以P(1,0)为顶点的抛物线过B、D两点。 (1)求抛物线的解析式; (2)如图2,将(1)中的抛物线沿y轴向上平移k个单位,平移后的抛物线交线段BD于E、 F两点,若EF BD,求k的值;
y
B

y

F E

B

D A 0 P 图1 C x

D A 0 P 图2 C x

4.如图1,抛物线y a 1与x轴交于A、B两点,与y轴负半轴交于点C,抛物线的对 称轴交抛物线于点D,交轴于点E,若AB 2DE。 (1)求抛物线的解析式; (2)沿抛物线的对称轴向下平移抛物线,平移后的抛物线交线段 BC 于 F、G 两点,若 FG BC,求平移后抛物线的解析式;

y A 0

D B E x

y A 0 G B x

C 图1

C

F 图2

5.如图 1,抛物线 y=ax +bx+3 经过点 A(-3,0),B(-1,0)两点, (1)求抛物线的解析式; (2)设抛物线的顶点为 M,直线 y=-2x+9 与 y 轴交于点 C,与直线 OM 交于点 D,现将抛物线平移,保持顶点在直线 OD 上,若平移的抛物线与射线 CD(含端点 C)只有一个公共点,求它的顶点横坐标的值或取值范围; (3)如图 2,将抛物线平移,当 顶点至原点时,过 Q(0,3)作不平行于 x 轴的直线交抛物线于 E、F 两点,问在 y 轴的负半 轴上是否存在一点 P,使△PEF 的内心在 y 轴上,若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明 理由。

2

y C

y

D A B M O
图1

x

E

Q O

F x

6. 抛 物 线 y ? ax2 ? 2ax ? b (a ? 0) 交 x 轴 于 A, B 两 点 , 交 y 轴 于 C ; 且 满 足 OA ? OB ? OC ? 0 ,若 c(0, ?3) (1)求这个抛物线的解析式; (2)在 y 轴上是否存在点 P ,使得 ?APB ? 30? ,若存在请求出点 P 的坐标,若不存在, 请说明理由。 (3)若向上平移抛物线 m 个单位,与线段 BC 交于 M , N 两点,且满足 MN ? 2 AB ,求 m
3

的取值范围
y A 0 B x

C

7.如图 25-1,已知抛物线 l1: y ? ax2 ? 4ax ? 4a ? 5 的顶点为 D,与 x 轴相交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左边) ,且 AB=6. (1)求抛物线 l1 的解析式及顶点 D 的坐标. 1 (2)将直线 y ? ? x 沿 y 轴向下平移 m 个单位,若平移后的直线与抛物线 l1 相交于点 M、 3 N(点 M 在点 N 的左边) ,且 MN ? 10 ,求 m 的值. (3)点 P 是 x 轴正半轴上一点,将抛物线 l1 绕点 P 旋转 180° 后得到抛物线 l2,抛物线 l2 的顶点为 C,与 x 轴相交于 E、F 两点(点 E 在 F 的左边) ,当以点 D、C、F 为顶点的三 角形是直角三角形时,求点 P 的坐标.

图 25-1

图 25-2


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